Funkcja I Jej Własności Sprawdzian Pazdro

Zajmiemy się funkcjami i ich własnościami. Przyjrzymy się zagadnieniom często pojawiającym się na sprawdzianach, zwłaszcza tych bazujących na podręcznikach Pazdro.

Co to jest funkcja?

Funkcja to relacja przyporządkowująca każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jeden element ze zbioru Y. Zbiór X to dziedzina funkcji. Zbiór Y to przeciwdziedzina funkcji. Elementy ze zbioru Y przyporządkowane elementom z X tworzą zbiór wartości funkcji.

Można myśleć o funkcji jak o maszynie. Wrzucamy coś (argument), a maszyna przetwarza to i wyrzuca coś innego (wartość). Na przykład, funkcja f(x) = x + 2. Wrzucamy 3, a wychodzi 5. Zatem f(3) = 5.

Dziedzina funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja ma sens. Czyli dla których możemy obliczyć wartość funkcji. Często oznaczana symbolem D lub D_f.

Na przykład, funkcja f(x) = 1/x. Nie możemy dzielić przez zero. Zatem x nie może być równe 0. Dziedzina tej funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 0. Zapisujemy to: D = R \ {0}.

Inny przykład, funkcja g(x) = √x. Możemy obliczyć pierwiastek kwadratowy tylko z liczb nieujemnych. Zatem x musi być większe lub równe 0. Dziedzina to D = [0, +∞).

Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja może przyjąć. Oznacza się go zazwyczaj ZW lub ZW_f.

Weźmy funkcję f(x) = x². Kwadrac liczby rzeczywistej zawsze jest nieujemny. Zatem zbiór wartości to ZW = [0, +∞).

Dla funkcji liniowej g(x) = x + 1, zbiór wartości to wszystkie liczby rzeczywiste, czyli ZW = R.

Miejsca zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to taki argument x, dla którego wartość funkcji jest równa zero. Czyli rozwiązanie równania f(x) = 0.

Dla funkcji f(x) = x - 2, miejsce zerowe to x = 2, bo f(2) = 2 - 2 = 0.

Dla funkcji g(x) = x² - 4, miejsca zerowe to x = 2 i x = -2, bo g(2) = 0 i g(-2) = 0.

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji określa, jak zachowuje się funkcja w zależności od argumentów. Może być rosnąca, malejąca, stała lub niemalejąca i nierosnąca.

Funkcja rosnąca: Jeśli dla x₁ < x₂ zachodzi f(x₁) < f(x₂).

Funkcja malejąca: Jeśli dla x₁ < x₂ zachodzi f(x₁) > f(x₂).

Funkcja stała: Jeśli dla wszystkich x z dziedziny, f(x) = c, gdzie c to stała.

Inne własności

Funkcje mogą być parzyste lub nieparzyste. Funkcja parzysta spełnia warunek f(-x) = f(x). Jej wykres jest symetryczny względem osi OY. Funkcja nieparzysta spełnia warunek f(-x) = -f(x). Jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Zrozumienie tych podstawowych własności funkcji jest kluczowe. Szczególnie ważne jest ćwiczenie rozwiązywania zadań. Warto sięgnąć po podręczniki Pazdro, zawierają wiele przykładów i zadań.