Funkcja Kwadratowa 2 Liceum Sprawdzian

Funkcja kwadratowa, w liceum, to funkcja opisana wzorem f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby rzeczywiste, a a ≠ 0. Sprawdzian z tego tematu wymaga zrozumienia i zastosowania kilku kluczowych pojęć.

Krok 1: Wykres funkcji. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jej ramiona skierowane są w górę, gdy a > 0, a w dół, gdy a < 0. Przykład: f(x) = 2x² + x - 3 (a=2 > 0, ramiona w górę). f(x) = -x² + 4x + 1 (a=-1 < 0, ramiona w dół).

Krok 2: Miejsca zerowe. Miejsca zerowe to wartości x, dla których f(x) = 0. Obliczamy je, rozwiązując równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Używamy do tego wyróżnika delta (Δ): Δ = b² - 4ac. Jeśli Δ > 0, są dwa miejsca zerowe: x₁ = (-b - √Δ) / 2a, x₂ = (-b + √Δ) / 2a. Jeśli Δ = 0, jest jedno miejsce zerowe: x = -b / 2a. Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych. Przykład: Dla f(x) = x² - 5x + 6, Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 1. Miejsca zerowe to x₁ = 2, x₂ = 3.

Krok 3: Wierzchołek paraboli. Wierzchołek to punkt, w którym parabola osiąga wartość minimalną (gdy a > 0) lub maksymalną (gdy a < 0). Współrzędne wierzchołka to (p, q), gdzie p = -b / 2a, a q = -Δ / 4a. Przykład: Dla f(x) = x² - 4x + 3, p = -(-4) / (2 * 1) = 2, Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 4, q = -4 / (4 * 1) = -1. Wierzchołek to (2, -1).

Zastosowania: Funkcja kwadratowa jest używana w fizyce (np. opis toru rzutu ukośnego), w ekonomii (modelowanie kosztów i zysków) oraz w inżynierii (projektowanie mostów i anten parabolicznych).