Funkcja Kwadratowa Sprawdzian 2 Liceum

Funkcja kwadratowa to funkcja, którą możemy zapisać w postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i a ≠ 0. Innymi słowy, jest to wielomian stopnia drugiego.

Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Kształt paraboli zależy od współczynnika a. Jeśli a > 0, parabola ma ramiona skierowane do góry (uśmiech), a jeśli a < 0, ramiona są skierowane do dołu (smutek).

Miejsca zerowe to wartości x, dla których f(x) = 0. Możemy je znaleźć rozwiązując równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Do tego używamy wyróżnika kwadratowego (delta): Δ = b² - 4ac.

Zależność delty od ilości miejsc zerowych:

• Jeśli Δ > 0, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe (dwa rozwiązania).
• Jeśli Δ = 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe (jedno rozwiązanie).
• Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych (brak rozwiązań).

Wzory na miejsca zerowe: Jeśli Δ > 0, to x₁ = (-b - √Δ) / 2a oraz x₂ = (-b + √Δ) / 2a. Jeśli Δ = 0, to x = -b / 2a.

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym parabola zmienia kierunek. Jego współrzędne to (p, q), gdzie p = -b / 2a, a q = -Δ / 4a. p to współrzędna x wierzchołka, a q to współrzędna y wierzchołka.

Postacie funkcji kwadratowej:

• Postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c
• Postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie (p, q) to wierzchołek
• Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe.

Przykład: Rozważmy funkcję f(x) = x² - 4x + 3. Współczynniki to a = 1, b = -4, c = 3. Delta wynosi Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 4. Miejsca zerowe to x₁ = 1 oraz x₂ = 3. Wierzchołek to (2, -1).