Funkcja Kwadratowa Sprawdzian Liceum Poziom Podstawowy

Funkcja Kwadratowa – przygotuj się do sprawdzianu z poziomu podstawowego! To nic trudnego, zobaczmy!

Czym jest Funkcja Kwadratowa?

Funkcja kwadratowa to taka funkcja, którą da się zapisać wzorem: f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby, a a musi być różne od zera. Ważne: a ≠ 0, bo inaczej to byłaby funkcja liniowa!

Przykład: f(x) = 2x² + 3x - 1 (tu a=2, b=3, c=-1)

Wykres Funkcji Kwadratowej – Parabola

Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Wygląda jak uśmiechnięta buzia (jeśli a > 0) lub smutna buzia (jeśli a < 0). Punkt, w którym parabola zmienia kierunek (najniższy lub najwyższy punkt), nazywamy wierzchołkiem paraboli.

Wierzchołek Paraboli

Współrzędne wierzchołka (W) obliczamy ze wzorów:

• W = (p, q)
• p = -b / 2a
• q = -Δ / 4a (gdzie Δ to delta)

Przykład: Dla funkcji f(x) = x² - 4x + 3: a=1, b=-4, c=3. p = -(-4) / (21) = 2. Aby obliczyć q, potrzebujemy delty (patrz niżej).

Delta (Δ)

Delta (Δ) to ważna liczba, która pomaga nam znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej (czyli punkty, w których parabola przecina oś x). Obliczamy ją ze wzoru: Δ = b² - 4ac.

Przykład (kontynuacja): Dla f(x) = x² - 4x + 3: Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4. Teraz możemy obliczyć q: q = -4 / (41) = -1. Czyli wierzchołek paraboli to W = (2, -1).

Miejsca Zerowe Funkcji Kwadratowej

Miejsca zerowe to wartości x, dla których f(x) = 0. Zależą od delty:

• Jeśli Δ > 0: funkcja ma dwa miejsca zerowe: x₁ = (-b - √Δ) / 2a, x₂ = (-b + √Δ) / 2a
• Jeśli Δ = 0: funkcja ma jedno miejsce zerowe (wierzchołek leży na osi x): x = -b / 2a
• Jeśli Δ < 0: funkcja nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi x)

Przykład (kontynuacja): Dla f(x) = x² - 4x + 3: Δ = 4. Mamy dwa miejsca zerowe: x₁ = (4 - √4) / 2 = 1, x₂ = (4 + √4) / 2 = 3.

Postać Kanoniczna i Iloczynowa

Funkcję kwadratową możemy zapisać w trzech postaciach:

• Ogólna: f(x) = ax² + bx + c
• Kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q (p i q to współrzędne wierzchołka)
• Iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) (x₁ i x₂ to miejsca zerowe, o ile istnieją)

Postać kanoniczna jest przydatna do odczytywania wierzchołka, a postać iloczynowa – miejsc zerowych.

Zadania na Sprawdzianie

Na sprawdzianie możesz się spodziewać zadań typu:

• Obliczanie delty i miejsc zerowych
• Znajdowanie wierzchołka paraboli
• Zapisywanie funkcji w różnych postaciach (ogólnej, kanonicznej, iloczynowej)
• Określanie, czy funkcja ma maksimum czy minimum
• Rysowanie wykresu funkcji (mniej prawdopodobne na poziomie podstawowym, ale warto umieć!)

Pamiętaj! Klucz to zrozumienie wzorów i ćwiczenie na przykładach. Powodzenia na sprawdzianie!