Funkcja Kwadratowa Sprawdzian Nowa Era 2014

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a a ≠ 0. Sprawdzian z funkcji kwadratowej, taki jak ten z Nowej Ery 2014, sprawdza znajomość własności tej funkcji, jej wykresu (paraboli) oraz umiejętność rozwiązywania zadań z nią związanych.

Krok 1: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa. Funkcję kwadratową możemy przedstawić w trzech postaciach: ogólnej (f(x) = ax² + bx + c), kanonicznej (f(x) = a(x - p)² + q, gdzie (p, q) to wierzchołek paraboli) i iloczynowej (f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe). Np. Przekształcenie f(x) = x² + 4x + 3 do postaci kanonicznej daje f(x) = (x + 2)² - 1, a do postaci iloczynowej f(x) = (x + 1)(x + 3).

Krok 2: Obliczanie delty (Δ). Delta (Δ) to wyróżnik równania kwadratowego, obliczany ze wzoru Δ = b² - 4ac. Jego wartość informuje o liczbie miejsc zerowych: Δ > 0 - dwa miejsca zerowe, Δ = 0 - jedno miejsce zerowe, Δ < 0 - brak miejsc zerowych. Np. dla f(x) = x² - 5x + 6, Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 1, co oznacza dwa miejsca zerowe.

Krok 3: Wyznaczanie miejsc zerowych i wierzchołka. Miejsca zerowe obliczamy ze wzorów: x₁ = (-b - √Δ) / 2a i x₂ = (-b + √Δ) / 2a (dla Δ ≥ 0). Wierzchołek paraboli ma współrzędne p = -b / 2a i q = -Δ / 4a. Np. dla f(x) = x² - 4x + 3, p = 2 i q = -1, więc wierzchołek to (2, -1).

Krok 4: Zastosowania. Funkcja kwadratowa jest wykorzystywana w fizyce (np. opis ruchu pocisku), ekonomii (np. modelowanie zysku) i wielu innych dziedzinach. Np. można obliczyć maksymalną wysokość, jaką osiągnie rzucony przedmiot (wierzchołek paraboli) lub odległość, na jaką doleci.