Funkcja Kwadratowa Sprawdzian Poziom Rozszerzony

Funkcja kwadratowa to funkcja, którą możemy zapisać w postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby, a a nie może być zerem (a ≠ 0). x to argument funkcji.

Kluczowe elementy funkcji kwadratowej:

Współczynniki: a, b i c wpływają na kształt i położenie paraboli (wykresu funkcji). a decyduje, czy parabola ma ramiona skierowane do góry (a > 0) czy do dołu (a < 0). b i c wpływają na przesunięcie paraboli wzdłuż osi.

Parabola: Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Ma ona kształt litery "U" lub odwróconej litery "U".

Wierzchołek: Najniższy (dla a > 0) lub najwyższy (dla a < 0) punkt paraboli. Jego współrzędne to (p, q), gdzie p = -b / 2a, a q = f(p).

Miejsca zerowe: To punkty, w których parabola przecina oś OX. Oznaczają one wartości x, dla których f(x) = 0. Można je obliczyć rozwiązując równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Do tego używamy delty (Δ): Δ = b² - 4ac.

Delta (Δ): Informuje o liczbie miejsc zerowych:

• Δ > 0: Dwa miejsca zerowe.
• Δ = 0: Jedno miejsce zerowe (wierzchołek paraboli leży na osi OX).
• Δ < 0: Brak miejsc zerowych.

Postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie (p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli. Ułatwia odczytanie wierzchołka.

Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji. Ułatwia odczytanie miejsc zerowych.

Przykłady zadań na poziomie rozszerzonym:

Na sprawdzianie rozszerzonym możesz spotkać zadania, które wymagają:

• Znalezienia wzoru funkcji kwadratowej, znając wierzchołek i jeden punkt.
• Określenia liczby i znaku miejsc zerowych bez obliczania ich wartości.
• Wykorzystania własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania nierówności kwadratowych. Na przykład, rozwiązanie nierówności x² - 5x + 6 > 0 wymaga znalezienia miejsc zerowych (2 i 3) i określenia, gdzie parabola jest powyżej osi OX.
• Zastosowania funkcji kwadratowej w zadaniach optymalizacyjnych (np. znalezienie wymiarów prostokąta o największym polu przy danym obwodzie).

Przykład: Znajdź funkcję kwadratową, której wierzchołek to (1, -4) i przechodzi przez punkt (3, 0). Najpierw użyj postaci kanonicznej: f(x) = a(x - 1)² - 4. Następnie wstaw współrzędne punktu (3, 0): 0 = a(3 - 1)² - 4. Rozwiąż dla a: 0 = 4a - 4, więc a = 1. Ostateczny wzór: f(x) = (x - 1)² - 4. Można to rozwinąć do postaci ogólnej: f(x) = x² - 2x - 3.

Pamiętaj o dokładnym analizowaniu treści zadania i wykorzystywaniu wszystkich dostępnych informacji. Powodzenia na sprawdzianie!