Funkcja Liniowa 1 Liceum Podstawa Sprawdzian

Zacznijmy od podstaw. Czym w ogóle jest funkcja liniowa? Jest to funkcja, którą można zapisać wzorem: f(x) = ax + b. Gdzie a i b to liczby rzeczywiste. x jest argumentem funkcji, a f(x) (często zapisywane jako y) jest wartością funkcji dla danego argumentu.

Liczba a we wzorze f(x) = ax + b nazywana jest współczynnikiem kierunkowym. Określa ona nachylenie prostej, która jest wykresem funkcji. Jeśli a > 0, funkcja jest rosnąca. Jeśli a < 0, funkcja jest malejąca. Natomiast jeśli a = 0, funkcja jest stała.

Liczba b we wzorze f(x) = ax + b to wyraz wolny. Mówi nam, w którym punkcie wykres funkcji przecina oś y. Czyli punkt przecięcia z osią y ma współrzędne (0, b).

Wykresem funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Do narysowania prostej wystarczą dwa punkty. Możemy wybrać dwa dowolne argumenty x, obliczyć odpowiadające im wartości f(x) i zaznaczyć te punkty w układzie współrzędnych. Następnie rysujemy prostą przechodzącą przez te punkty. Dobrym pomysłem jest obliczenie punktu przecięcia z osią x i y.

Miejsce zerowe funkcji to taki argument x, dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli f(x) = 0. Żeby obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej f(x) = ax + b, rozwiązujemy równanie: ax + b = 0. Czyli x = -b/a, pod warunkiem, że a jest różne od zera. Jeśli a = 0, funkcja jest stała i albo ma nieskończenie wiele miejsc zerowych (gdy b = 0), albo nie ma ich wcale (gdy b ≠ 0).

Sprawdźmy to na przykładach. Mamy funkcję f(x) = 2x + 4. Współczynnik kierunkowy a = 2, więc funkcja jest rosnąca. Wyraz wolny b = 4, więc wykres przecina oś y w punkcie (0, 4). Miejsce zerowe to x = -4/2 = -2. Wykres przecina oś x w punkcie (-2, 0).

A teraz funkcja g(x) = -x + 1. Współczynnik kierunkowy a = -1, więc funkcja jest malejąca. Wyraz wolny b = 1, więc wykres przecina oś y w punkcie (0, 1). Miejsce zerowe to x = -1/(-1) = 1. Wykres przecina oś x w punkcie (1, 0).

Równoległość i prostopadłość

Dwie proste są równoległe, jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy. Czyli, jeśli mamy dwie funkcje liniowe: f(x) = a₁x + b₁ i g(x) = a₂x + b₂, to proste te są równoległe, gdy a₁ = a₂.

Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1. Czyli, jeśli mamy dwie funkcje liniowe: f(x) = a₁x + b₁ i g(x) = a₂x + b₂, to proste te są prostopadłe, gdy a₁ * a₂ = -1. Można też powiedzieć, że a₂ = -1/a₁.

Umiejętność pracy z funkcją liniową jest kluczowa w matematyce i znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego. Od modelowania prostych zależności, po obliczenia związane z finansami czy fizyką. Zrozumienie definicji, własności i umiejętność rysowania wykresu to podstawa, która przyda się w dalszej nauce.