Funkcje Sprawdzian Liceum Nowa Era

Funkcje to jeden z najważniejszych tematów w matematyce licealnej. Szczególnie istotne są na sprawdzianach z Nowej Ery. Co to w ogóle jest funkcja? Najprościej mówiąc, funkcja to przyporządkowanie.

Przyporządkowanie? Tak! Wyobraź sobie automat do napojów. Wrzucasz monetę (wejście), a automat wydaje napój (wyjście). Automat przyporządkowuje monecie konkretny napój. W matematyce robimy podobnie, ale z liczbami.

Definicja funkcji: Funkcja to takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X (zwanego dziedziną) przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Y (zwanego przeciwdziedziną lub zbiorem wartości).

Rozłóżmy to na części:

• Każdemu elementowi ze zbioru X: Oznacza to, że każda liczba z naszej "wejściowej" listy (dziedziny) musi mieć swój "odpowiednik" w drugiej liście (przeciwdziedzinie). Nie możemy mieć żadnej liczby z dziedziny, której nic nie przypisujemy.
• Dokładnie jeden element ze zbioru Y: Oznacza to, że jedna liczba z dziedziny może dać tylko jeden wynik. Nie może być tak, że wrzucając 2 zł do automatu, raz dostaniemy colę, a raz pepsi. Wynik musi być jednoznaczny.

Jak sprawdzić, czy coś jest funkcją?

Graf: Jeśli masz dany graf, sprawdź, czy z każdego elementu dziedziny (zbiór X, najczęściej po lewej) wychodzi dokładnie jedna strzałka.

Wykres: Najczęściej spotykane. Narysuj pionową linię. Jeśli przetnie wykres w więcej niż jednym miejscu, to nie jest funkcja. Dlaczego? Bo dla jednego "x" mielibyśmy więcej niż jedno "y". To narusza zasadę, że jeden element dziedziny ma tylko jeden element przypisany w przeciwdziedzinie.

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina (D): To zbiór wszystkich liczb, które możemy "wrzucić" do funkcji (nasz zbiór X). Trzeba uważać na przypadki, gdy coś się "psuje". Na przykład:

• Dzielenie przez zero: Mianownik nie może być zerem! Jeśli masz funkcję f(x) = 1/x, to dziedzina to wszystkie liczby oprócz 0. Zapis: D = R \ {0} (R to zbiór liczb rzeczywistych).
• Pierwiastek kwadratowy: Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna! Jeśli masz f(x) = √x, to dziedzina to wszystkie liczby większe lub równe 0. Zapis: D = [0, +∞).

Zbiór wartości (ZW): To zbiór wszystkich możliwych wyników, jakie funkcja może dać (nasz zbiór Y). Znalezienie zbioru wartości bywa trudniejsze i wymaga analizy funkcji.

Przykłady na sprawdzianie

Na sprawdzianie możesz spodziewać się zadań typu:

• Sprawdź, czy dany graf/wykres przedstawia funkcję.
• Wyznacz dziedzinę funkcji (pamiętaj o dzieleniu przez zero i pierwiastkach!).
• Oblicz wartość funkcji dla danego argumentu (np. f(2) = ?).
• Znajdź miejsce zerowe funkcji (czyli dla jakiego x, f(x) = 0).

Pamiętaj, ćwicz! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz funkcje i łatwiej poradzisz sobie na sprawdzianie z Nowej Ery.