Geometria Plaszczyzny Sprawdzian Liceum Nowa Era
Geometria płaszczyzny, czyli geometria analityczna na płaszczyźnie, to dział matematyki, który wykorzystuje algebrę do opisu i analizy figur geometrycznych na płaszczyźnie kartezjańskiej (układzie współrzędnych).
Podstawowe kroki w rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej:
- Określenie współrzędnych punktów: Każdy punkt na płaszczyźnie opisujemy parą liczb (x, y). Na przykład, punkt A ma współrzędne (2, 3), a punkt B (-1, 1).
- Obliczanie odległości między punktami: Stosujemy wzór: d(A, B) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) Przykład: Odległość między A(1, 2) i B(4, 6) wynosi √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = 5.
- Wyznaczanie równania prostej: Prosta może być opisana równaniem kierunkowym y = ax + b (gdzie 'a' to współczynnik kierunkowy, a 'b' to punkt przecięcia z osią Y) lub równaniem ogólnym Ax + By + C = 0. Przykład: Prosta przechodząca przez punkty (1, 3) i (2, 5) ma współczynnik kierunkowy a = (5-3)/(2-1) = 2. Następnie, podstawiając punkt (1, 3) do y = 2x + b, otrzymujemy 3 = 2*1 + b, czyli b = 1. Zatem równanie prostej to y = 2x + 1.
- Sprawdzanie równoległości i prostopadłości prostych: Dwie proste y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są równoległe, gdy a₁ = a₂, a prostopadłe, gdy a₁ * a₂ = -1.
Przykład zadania: Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej y = -1/2x + 3 i przechodzącej przez punkt (2, 1). Rozwiązanie: Współczynnik kierunkowy szukanej prostej musi spełniać (-1/2) * a = -1, zatem a = 2. Równanie prostej to y = 2x + b. Podstawiając punkt (2, 1), otrzymujemy 1 = 2*2 + b, czyli b = -3. Zatem równanie prostej to y = 2x - 3.
Praktyczne zastosowania: Geometria płaszczyzny znajduje zastosowanie w grafice komputerowej (rysowanie i transformacja obiektów 2D) oraz w nawigacji (wyznaczanie odległości i tras na mapach).
