Matematyka Nowa Era Zakres Podstawowy 1 Liceum Sprawdzian Funkcja Kwadratowa

Funkcja kwadratowa to specjalny rodzaj funkcji matematycznej. Mówiąc prościej, to wzór, który po narysowaniu na kartce tworzy kształt paraboli.

Definicja funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową zapisujemy zazwyczaj w postaci ogólnej: f(x) = ax² + bx + c, gdzie:

• x to zmienna, czyli liczba, którą wstawiamy do wzoru.
• a, b i c to współczynniki, czyli liczby, które stoją przed x², x i bez x. Ważne: a nie może być zerem (a ≠ 0). Gdyby było, funkcja stałaby się liniowa, a nie kwadratowa.

Przykład: f(x) = 2x² + 3x - 5. Tutaj a = 2, b = 3, a c = -5.

Parabola – wykres funkcji kwadratowej

Gdy narysujemy funkcję kwadratową na wykresie, otrzymamy parabolę. Parabola ma charakterystyczny kształt litery "U" (może być odwrócona). Wygląd paraboli zależy od współczynnika a:

• Jeśli a > 0 (a jest dodatnie), parabola ma ramiona skierowane do góry (uśmiechnięta).
• Jeśli a < 0 (a jest ujemne), parabola ma ramiona skierowane do dołu (smutna).

Miejsca zerowe

Miejsca zerowe to punkty, w których parabola przecina oś x. Oznacza to, że w tych punktach wartość funkcji f(x) wynosi zero.

Aby znaleźć miejsca zerowe, musimy rozwiązać równanie kwadratowe: ax² + bx + c = 0. Do tego używamy delty (Δ), obliczanej ze wzoru: Δ = b² - 4ac.

• Jeśli Δ > 0, funkcja ma dwa miejsca zerowe.
• Jeśli Δ = 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe (parabola dotyka osi x).
• Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi x).

Wzory na miejsca zerowe (gdy Δ > 0):

• x₁ = (-b - √Δ) / 2a
• x₂ = (-b + √Δ) / 2a

Wierzchołek paraboli

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym parabola osiąga wartość minimalną (gdy a > 0) lub maksymalną (gdy a < 0). Współrzędne wierzchołka (p, q) obliczamy ze wzorów:

• p = -b / 2a
• q = -Δ / 4a

Wierzchołek paraboli jest bardzo ważny, bo pozwala nam określić zbiór wartości funkcji kwadratowej.

Przykładowe zadanie

Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x) = x² - 4x + 3.

Rozwiązanie:

1. a = 1, b = -4, c = 3
2. Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
3. √Δ = 2
4. x₁ = (4 - 2) / 2 = 1
5. x₂ = (4 + 2) / 2 = 3

Odpowiedź: Miejsca zerowe to x₁ = 1 i x₂ = 3.

Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł Ci zrozumieć podstawy funkcji kwadratowej! Pamiętaj o ćwiczeniach i rozwiązywaniu zadań, aby utrwalić zdobytą wiedzę.