Oblicz Pola Wielokątów O Podanych Wierzchołkach

Obliczanie pola wielokąta o podanych wierzchołkach to znalezienie powierzchni, którą ten wielokąt zajmuje na płaszczyźnie. Wierzchołki to punkty, w których łączą się boki wielokąta. Znając ich współrzędne, możemy wyznaczyć pole.

Metoda wyznacznikowa (Determinant Method)

Najpopularniejsza metoda to metoda wyznacznikowa, zwana też wzorem sznurowadłowym. Jest skuteczna dla dowolnych wielokątów, nawet tych, które nie są foremne.

Jak to działa?

1. Zapisz współrzędne: Wypisz współrzędne wszystkich wierzchołków wielokąta w kolejności (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Na przykład, dla trójkąta z wierzchołkami A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) zapisujemy: (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃).
2. Powtórz pierwszy wierzchołek: Na końcu listy dopisz współrzędne pierwszego wierzchołka. Czyli nasza lista to teraz: (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), (x₁, y₁).
3. Policz "sznurowadła": Pomnóż "na krzyż" kolejne pary liczb. Najpierw mnożymy x₁ z y₂, x₂ z y₃, x₃ z y₁ i dodajemy te wyniki do siebie. Potem mnożymy y₁ z x₂, y₂ z x₃, y₃ z x₁ i dodajemy te wyniki do siebie.
4. Odejmij i podziel: Odejmij drugą sumę od pierwszej. Weź wartość bezwzględną wyniku i podziel przez 2. Dostaniesz pole!

Wzór:

Pole = ¹/₂ | (x₁y₂ + x₂y₃ + ... + x_ny₁) - (y₁x₂ + y₂x₃ + ... + y_nx₁) |

Przykład

Weźmy trójkąt o wierzchołkach A(1, 1), B(4, 1), C(1, 5).

1. Zapisujemy: (1, 1), (4, 1), (1, 5).
2. Powtarzamy: (1, 1), (4, 1), (1, 5), (1, 1).
3. Mnożymy "na krzyż": (11 + 45 + 11) = 1 + 20 + 1 = 22, oraz (14 + 11 + 51) = 4 + 1 + 5 = 10.
4. Odejmujemy i dzielimy: |22 - 10| = 12, 12 / 2 = 6.

Zatem pole trójkąta wynosi 6 jednostek kwadratowych.

Ważne uwagi

• Kolejność wierzchołków jest kluczowa. Zachowanie kierunku (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie) da prawidłowy wynik. Zmiana kierunku zmieni znak wyniku, ale wartość bezwzględna (moduł) pozostanie taka sama, więc pole będzie poprawne.
• Wzór działa dla wielokątów wypukłych i wklęsłych.

Metoda wyznacznikowa to potężne narzędzie do obliczania pól wielokątów. Wymaga jedynie znajomości współrzędnych wierzchołków i umiejętności wykonywania prostych obliczeń.