Przekształcanie Wykresów Funkcji Wymiernej Sprawdzian Nowa Era

Przekształcanie wykresów funkcji wymiernej – brzmi strasznie? Spokojnie! To nic innego jak zmienianie kształtu wykresu, który już znasz, czyli funkcji typu f(x) = 1/x. A to wszystko przy pomocy kilku prostych trików, które zobaczymy zaraz.

Czym jest funkcja wymierna?

Najprościej mówiąc, funkcja wymierna to taka, gdzie masz dzielenie przez x (lub coś z x). Najbardziej podstawowy przykład to f(x) = 1/x. Jej wykres to hiperbola – dwie krzywe, które zbliżają się do osi X i Y, ale nigdy ich nie dotykają. Osie X i Y to w tym przypadku asymptoty – linie, do których wykres się zbliża.

Przesunięcia wykresu (translacja)

Wyobraź sobie, że chwytasz wykres i przesuwasz go w lewo, prawo, górę lub dół. To właśnie jest przesunięcie! Mamy dwa rodzaje:

• Poziome przesunięcie: Dodajesz lub odejmujesz liczbę od x wewnątrz funkcji. Czyli np. f(x) = 1/(x - 2). Minus 2 oznacza przesunięcie w prawo o 2 jednostki! Ważne: minus znaczy w prawo, plus znaczy w lewo. Trochę na odwrót, prawda?
• Pionowe przesunięcie: Dodajesz lub odejmujesz liczbę poza funkcją. Czyli np. f(x) = 1/x + 3. Plus 3 oznacza przesunięcie w górę o 3 jednostki. Tutaj znaki działają normalnie.

Przykład: f(x) = 1/(x+1) - 2. Przesuwamy hiperbolę o 1 jednostkę w lewo (bo x+1) i o 2 jednostki w dół (bo -2).

Rozciąganie i kurczenie wykresu

Wyobraź sobie, że rozciągasz gumkę. Tak samo możesz rozciągnąć lub skurczyć wykres. To robimy mnożąc całą funkcję przez liczbę:

• Rozciąganie pionowe: Mnożysz całą funkcję przez liczbę większą od 1. Np. f(x) = 2 * (1/x). Wykres staje się "wyższy".
• Kurczenie pionowe: Mnożysz całą funkcję przez liczbę pomiędzy 0 a 1. Np. f(x) = 0.5 * (1/x). Wykres staje się "niższy".

Przykład: f(x) = 3 * (1/(x-2) + 1). Wykres 1/x przesunięty o 2 w prawo, 1 w górę i rozciągnięty trzykrotnie w pionie.

Odbicie wykresu

Możemy odbić wykres względem osi X lub Y. Zmieniamy wtedy znaki:

• Odbicie względem osi X: Zmieniamy znak całej funkcji. Np. f(x) = - (1/x). Wykres odwraca się "do góry nogami".
• Odbicie względem osi Y: Zmieniamy znak tylko przed x. Np. f(x) = 1/(-x). Wykres odbija się "na drugą stronę". W przypadku 1/x odbicie względem osi Y da ten sam wykres, bo jest symetryczny.

Sprawdzian Nowa Era - na co zwrócić uwagę?

Na sprawdzianie Nowa Era na pewno pojawią się zadania, gdzie trzeba będzie:

• Określić, jakie przesunięcia, rozciągania i odbicia zostały zastosowane do bazowej funkcji 1/x.
• Narysować wykres po przekształceniach.
• Znaleźć równanie funkcji po przekształceniach na podstawie wykresu.

Pamiętaj: Krok po kroku! Najpierw zidentyfikuj przesunięcia, potem rozciągania, a na końcu odbicia. Ćwicz, ćwicz i jeszcze raz ćwicz! Powodzenia na sprawdzianie!