Równania I Nirównosci Z Wartoscia Bezwzgledna Liceum Sprawdzian

Wartość bezwzględna, inaczej moduł, liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Oznacza to, że |x| jest zawsze liczbą nieujemną. Formalnie, |x| = x dla x ≥ 0 i |x| = -x dla x < 0.

Równania z wartością bezwzględną rozwiązujemy rozpatrując przypadki. Zauważ, że |x| = a, gdzie a ≥ 0, oznacza, że x = a lub x = -a. Przykładowo, rozwiążmy |x - 2| = 3.

Krok 1: Rozważamy dwa przypadki:

• Przypadek 1: x - 2 = 3 ⇒ x = 5
• Przypadek 2: x - 2 = -3 ⇒ x = -1

Rozwiązaniem równania są liczby 5 i -1.

Nierówności z wartością bezwzględną również rozwiązujemy rozpatrując przypadki. Istnieją dwa główne typy nierówności:

Typ 1: |x| < a (lub |x| ≤ a), gdzie a > 0. Wtedy -a < x < a (lub -a ≤ x ≤ a). Przykładowo, |x| < 2 oznacza, że -2 < x < 2.

Typ 2: |x| > a (lub |x| ≥ a), gdzie a > 0. Wtedy x < -a lub x > a (lub x ≤ -a lub x ≥ a). Przykładowo, |x| > 1 oznacza, że x < -1 lub x > 1.

Rozważmy nierówność |x + 1| ≥ 4.

Krok 1: Rozważamy dwa przypadki:

• Przypadek 1: x + 1 ≥ 4 ⇒ x ≥ 3
• Przypadek 2: x + 1 ≤ -4 ⇒ x ≤ -5

Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów (-∞, -5] ∪ [3, +∞).

Pamiętaj, że kluczem do rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną jest rozpatrywanie przypadków i poprawne rozwiązywanie powstałych równań/nierówności liniowych. Sprawdzaj zawsze, czy otrzymane rozwiązania należą do dziedziny.