Sprawdzian 1 Technikum Matematyka Funkcja Kwadratowa

Funkcja kwadratowa to funkcja, którą można zapisać w postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby rzeczywiste, a a nie jest równe zero. Kluczowe jest, że najwyższa potęga zmiennej x wynosi 2.

Wykres funkcji kwadratowej: Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Parabola może być skierowana ramionami do góry (gdy a > 0) lub do dołu (gdy a < 0).

Miejsca zerowe: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to wartości x, dla których f(x) = 0. Możemy je obliczyć, rozwiązując równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Do obliczenia miejsc zerowych często używamy delty (Δ): Δ = b² - 4ac.

Delta (Δ):

• Δ > 0: funkcja ma dwa różne miejsca zerowe.
• Δ = 0: funkcja ma jedno miejsce zerowe (podwójne).
• Δ < 0: funkcja nie ma miejsc zerowych (w zbiorze liczb rzeczywistych).

Współrzędne wierzchołka paraboli: Wierzchołek to punkt, w którym parabola zmienia kierunek. Jego współrzędne to (p, q), gdzie:

• p = -b / 2a
• q = -Δ / 4a

Postacie funkcji kwadratowej:

• Postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c
• Postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q (gdzie (p, q) to wierzchołek)
• Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) (gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe)

Przykład: Funkcja f(x) = x² - 4x + 3. Obliczamy deltę: Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4. Ponieważ Δ > 0, funkcja ma dwa miejsca zerowe. Wierzchołek: p = -(-4) / (2 * 1) = 2, q = -4 / (4 * 1) = -1. Więc wierzchołek ma współrzędne (2, -1).