Sprawdzian Bryły Obrotowe 3 Gimnazjum Nowa Era

Bryły obrotowe to figury geometryczne, które powstają poprzez obrót płaskiej figury wokół prostej, zwanej osią obrotu. W trzeciej klasie gimnazjum, w programie Nowej Ery, poznajemy kilka podstawowych brył obrotowych. Są to walec, stożek i kula.

Walec

Walec powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Ten bok staje się osią obrotu. Dwa koła, które widzimy na końcach walca, to jego podstawy. Odległość między podstawami to wysokość walca (h). Promień podstawy oznaczamy r.

Aby obliczyć pole powierzchni walca, musimy dodać pola dwóch podstaw oraz pole powierzchni bocznej. Pole podstawy to πr², a pole powierzchni bocznej to 2πrh. Zatem, wzór na pole powierzchni całkowitej walca (P_c) to: P_c = 2πr² + 2πrh. Objętość walca (V) obliczamy mnożąc pole podstawy przez wysokość: V = πr²h.

Przykład: Mamy walec o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 5 cm. Pole powierzchni całkowitej to: 2π(3cm)² + 2π(3cm)(5cm) = 18π cm² + 30π cm² = 48π cm². Objętość walca to: π(3cm)²(5cm) = 45π cm³.

Stożek

Stożek powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych. Ta przyprostokątna staje się osią obrotu. Koło, które widzimy na dole stożka, to jego podstawa. Odległość od wierzchołka stożka do środka podstawy to wysokość stożka (h). Promień podstawy oznaczamy r. Długość odcinka łączącego wierzchołek stożka z dowolnym punktem na obwodzie podstawy to tworząca stożka (l).

Pole powierzchni całkowitej stożka (P_c) to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej. Pole podstawy to πr², a pole powierzchni bocznej to πrl. Zatem: P_c = πr² + πrl. Objętość stożka (V) to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości: V = (1/3)πr²h. Zauważmy, że objętość stożka jest trzy razy mniejsza niż objętość walca o takim samym promieniu podstawy i wysokości.

Przykład: Mamy stożek o promieniu podstawy 4 cm, wysokości 3 cm i tworzącej 5 cm. Pole powierzchni całkowitej to: π(4cm)² + π(4cm)(5cm) = 16π cm² + 20π cm² = 36π cm². Objętość stożka to: (1/3)π(4cm)²(3cm) = 16π cm³.

Kula

Kula powstaje przez obrót koła wokół jego średnicy. Środek kuli to środek obracającego się koła. Promień kuli (r) to odległość od środka kuli do dowolnego punktu na jej powierzchni.

Pole powierzchni kuli (P) obliczamy ze wzoru: P = 4πr². Objętość kuli (V) obliczamy ze wzoru: V = (4/3)πr³.

Przykład: Mamy kulę o promieniu 2 cm. Pole powierzchni kuli to: 4π(2cm)² = 16π cm². Objętość kuli to: (4/3)π(2cm)³ = (32/3)π cm³.

Pamiętaj, aby dobrze zrozumieć wzory i umieć je stosować w praktyce. Ćwicz rozwiązywanie zadań, a sprawdzian z brył obrotowych nie będzie dla Ciebie problemem!