Sprawdzian Matematyka 1 Szkoła Ponadgimnazjalna Nowa Era Nierówności Kwadratowe

Nierówności kwadratowe - o co chodzi? To po prostu porównywanie wyrażenia kwadratowego (np. x² + 2x - 3) do zera (lub innej liczby) za pomocą znaków: <, >, ≤, ≥.

Krok 1: Przenieś wszystko na jedną stronę

Najważniejsze - doprowadź nierówność do postaci ogólnej: ax² + bx + c < 0 (lub >, ≤, ≥ 0). Jeśli masz coś po prawej stronie znaku nierówności, przenieś to, odejmując (lub dodając) obustronnie. Przykład:

Przykład: x² + 3x > 4 → x² + 3x - 4 > 0

Must Read

Krok 2: Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

Traktuj nierówność jak równanie (ax² + bx + c = 0). Oblicz deltę (Δ): Δ = b² - 4ac. Pamiętasz wzór? Super! Jeśli Δ > 0, masz dwa pierwiastki; jeśli Δ = 0, jeden pierwiastek podwójny; jeśli Δ < 0, brak pierwiastków rzeczywistych. Dlaczego to ważne? Pierwiastki to punkty, w których parabola przecina oś OX. To one dzielą nam oś liczbową na przedziały.

Przykład: Dla x² + 3x - 4 = 0, a=1, b=3, c=-4. Δ = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25. Δ > 0, więc są dwa pierwiastki.

Nierówność kwadratowa - zadanie maturalne (fragment Kursu Matura

Krok 3: Oblicz pierwiastki (x₁ i x₂)

Jeśli Δ > 0, użyj wzorów: x₁ = (-b - √Δ) / 2a i x₂ = (-b + √Δ) / 2a.

Przykład: Dla naszego przykładu x₁ = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -4 i x₂ = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 1.

Krok 4: Naszkicuj parabolę

Narysuj oś OX. Zaznacz pierwiastki (x₁ i x₂). Ważne: Jeśli a > 0 (współczynnik przy x² jest dodatni), parabola ma ramiona skierowane do góry (uśmiechnięta buźka). Jeśli a < 0, ramiona skierowane są w dół (smutna buźka). To bardzo pomoże zrozumieć, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne!

Matematyka z Edu.online. Równania i nierówności kwadratowe. Liceum i

Przykład: W naszym przykładzie a = 1 (dodatni), więc parabola jest "uśmiechnięta".

Krok 5: Odczytaj rozwiązanie z wykresu

Wróć do nierówności. Chcemy znaleźć x, dla których ax² + bx + c jest < 0, > 0, ≤ 0, ≥ 0. Spójrz na wykres. Jeśli szukamy > 0, bierzemy przedziały, gdzie parabola jest NAD osią OX. Jeśli szukamy < 0, bierzemy przedziały, gdzie parabola jest POD osią OX.

Podręcznik Matematyka. Klasa 1. Szkoła branżowa I stopnia | Księgarnia

Przykład: Mieliśmy x² + 3x - 4 > 0. Parabola jest "uśmiechnięta", pierwiastki to -4 i 1. Chcemy wartości większe od zera (nad osią OX). Zatem rozwiązaniem jest: x ∈ (-∞, -4) ∪ (1, +∞). Używamy nawiasów okrągłych, bo nierówność jest ostra (>). Gdyby była nieostra (≥), użylibyśmy nawiasów kwadratowych.

Pamiętaj o Δ < 0!

Jeśli delta jest ujemna, to parabola NIE przecina osi OX. Jeśli a > 0, cała parabola leży NAD osią OX. Wtedy ax² + bx + c > 0 dla każdego x. Jeśli a < 0, cała parabola leży POD osią OX. Wtedy ax² + bx + c < 0 dla każdego x.

Podsumowanie: Rozwiązywanie nierówności kwadratowych to: doprowadzenie do postaci ogólnej, obliczenie delty i pierwiastków (jeśli istnieją), naszkicowanie paraboli i odczytanie rozwiązania z wykresu. Powodzenia na sprawdzianie!