Sprawdzian Z Dzialu Liczby Rzeczywiste Technikum

Matematyka w technikum to ważny etap. Sprawdzian z działu Liczby Rzeczywiste to jeden z pierwszych poważnych testów. Warto się do niego dobrze przygotować.

Czym są Liczby Rzeczywiste?

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, które możemy przedstawić na osi liczbowej. Zawierają one liczby wymierne i niewymierne. Liczby wymierne to takie, które da się zapisać jako ułamek zwykły. Przykładem mogą być 2, 0.5 (czyli 1/2), -3, 1/3.

Liczby niewymierne to te, których nie da się zapisać w postaci ułamka. Mają one nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne. Najbardziej znanym przykładem jest liczba π (pi), czyli około 3.14159...

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Obejmuje on wszystkie liczby, z którymi spotykamy się najczęściej w życiu codziennym i w większości zagadnień matematycznych.

Działania na Liczbach Rzeczywistych

Na liczbach rzeczywistych możemy wykonywać różne działania. Należą do nich dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (z wyjątkiem dzielenia przez zero). Ważne jest, aby pamiętać o kolejności wykonywania działań: najpierw nawiasy, potem potęgowanie i pierwiastkowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Przykład: Oblicz wartość wyrażenia: 2 + 3 * (5 - 1). Najpierw wykonujemy działanie w nawiasie: 5 - 1 = 4. Następnie mnożymy: 3 * 4 = 12. Na końcu dodajemy: 2 + 12 = 14. Wynik to 14.

Ważne są także prawa działań. Prawo przemienności mówi, że a + b = b + a oraz a * b = b * a. Prawo łączności mówi, że (a + b) + c = a + (b + c) oraz (a * b) * c = a * (b * c). Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania mówi, że a * (b + c) = a * b + a * c.

Potęgi i Pierwiastki

Potęgowanie to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. Na przykład 2³ = 2 * 2 * 2 = 8. Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Na przykład √9 = 3, ponieważ 3² = 9.

Warto znać prawa działań na potęgach. Na przykład a^m * aⁿ = a^m+n oraz (a^m)ⁿ = a^m*n. Podobnie, √(a*b) = √a * √b (dla a, b ≥ 0).

Upraszczanie wyrażeń z potęgami i pierwiastkami jest częstym zadaniem na sprawdzianie. Należy pamiętać o stosowaniu odpowiednich wzorów i przekształceniach.

Przedziały Liczbowe

Przedział liczbowy to zbiór liczb rzeczywistych zawartych między dwoma krańcami. Możemy mieć przedziały otwarte, zamknięte, jednostronnie otwarte i nieograniczone.

Przedział otwarty (a, b) to zbiór liczb większych od a i mniejszych od b. Przedział zamknięty [a, b] to zbiór liczb większych lub równych a i mniejszych lub równych b. Ważne jest rozróżnienie, kiedy używamy nawiasu okrągłego, a kiedy kwadratowego.

Umiejętność zapisywania zbiorów liczb za pomocą przedziałów jest bardzo przydatna. Często pojawia się w zadaniach dotyczących nierówności.

Wartość Bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Oznaczamy ją |a|. Na przykład |3| = 3 i |-3| = 3.

Wartość bezwzględna zawsze jest liczbą nieujemną. Rozwiązując równania i nierówności z wartością bezwzględną, musimy rozpatrzyć dwa przypadki: kiedy wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest dodatnie i kiedy jest ujemne.

Na przykład, rozwiązując równanie |x - 2| = 3, musimy rozważyć dwa przypadki: x - 2 = 3 oraz x - 2 = -3. W pierwszym przypadku x = 5, a w drugim x = -1.