Symetrie W Układzie Współrzędnych Sprawdzian

Symetrie w układzie współrzędnych – o co w tym chodzi? Mówiąc najprościej, sprawdzamy, czy dana figura (np. linia, kwadrat, okrąg) wygląda tak samo po odbiciu względem pewnej osi (X lub Y) lub punktu (zazwyczaj punktu (0,0) – początku układu współrzędnych).

Symetria względem osi X

Oznacza to, że jeśli odbijemy figurę względem osi X (tej poziomej), to otrzymamy dokładnie tą samą figurę. Jak to sprawdzić na punkcie? Wyobraź sobie punkt (2, 3). Jego odbicie względem osi X to punkt (2, -3). Zauważ, że zmienia się tylko znak współrzędnej Y!

Zasada: Punkt (x, y) ma swój odpowiednik (x, -y) jeśli figura jest symetryczna względem osi X.

Przykład: Równanie funkcji y = x² jest symetryczne względem osi X, ponieważ jeśli podstawimy -y zamiast y, to otrzymamy -y = x². Ale to znaczy, że y = -x², więc jeśli odbijemy wykres względem osi X, dostaniemy coś innego. Funkcja y = x² nie jest symetryczna względem osi X. Rozważmy równanie x² + y² = 4. Jeżeli zamienimy y na -y, to mamy x² + (-y)² = x² + y² = 4. Równanie się nie zmieniło! Zatem okrąg o równaniu x² + y² = 4 jest symetryczny względem osi X.

Symetria względem osi Y

Tutaj odbijamy figurę względem osi Y (tej pionowej). Jeśli po odbiciu figura wygląda tak samo, to mówimy, że jest symetryczna względem osi Y.

Zasada: Punkt (x, y) ma swój odpowiednik (-x, y) jeśli figura jest symetryczna względem osi Y.

Przykład: Funkcja y = x² jest symetryczna względem osi Y. Dlaczego? Bo jeśli zamiast x podstawimy -x, to mamy y = (-x)² = x². Czyli nic się nie zmieniło! Zatem wykres jest symetryczny względem osi Y. Ale funkcja y = x jest symetryczna? Nie, bo y = (-x) to zupełnie inna funkcja! Jeżeli odbijemy jej wykres względem osi Y, to otrzymamy inną prostą.

Symetria względem punktu (0, 0) – środka układu

Ta symetria jest trochę bardziej złożona. Tutaj odbijamy figurę względem punktu (0, 0). Wyobraź sobie, że obracasz figurę o 180 stopni wokół tego punktu. Jeśli po obrocie figura wygląda tak samo, to mówimy, że jest symetryczna względem środka układu.

Zasada: Punkt (x, y) ma swój odpowiednik (-x, -y) jeśli figura jest symetryczna względem środka układu.

Przykład: Funkcja y = x jest symetryczna względem punktu (0, 0). Jeśli x zamienimy na -x, a y na -y, to otrzymamy -y = -x, co po przemnożeniu przez -1 daje y = x. Czyli nic się nie zmieniło! Inny przykład: y = x³. Po podstawieniu -x i -y mamy -y = (-x)³ = -x³, czyli y = x³. Zatem jest symetria względem początku układu. Funkcja y = x² nie jest symetryczna względem punktu (0, 0), bo po zmianie x i y na -x i -y otrzymujemy -y = (-x)² = x², czyli y = -x². To inna funkcja!

Pamiętaj, że zrozumienie tych symetrii wymaga praktyki! Rysuj przykłady, sprawdzaj punkty i przekształcaj równania. Powodzenia na sprawdzianie!