Wielomiany Sprawdzian Liceum Nowa Era

Wielomian to wyrażenie algebraiczne, które składa się z sumy jednomianów. Żeby lepiej to zrozumieć, rozłóżmy to na czynniki pierwsze.

Co to jest jednomian?

Jednomian to liczba, zmienna (np. x, y) lub iloczyn liczby i zmiennych podniesionych do potęgi naturalnej (0, 1, 2, 3...). Przykłady jednomianów: 5, x, 3x, 2x², -7xy³. WAŻNE: Wykładniki przy zmiennych muszą być liczbami naturalnymi. Wyrażenie 3x^-1 już nie jest jednomianem!

Wracamy do wielomianu

Wielomian powstaje przez dodawanie (lub odejmowanie, bo odejmowanie to przecież dodawanie liczby ujemnej) jednomianów. Przykłady wielomianów:

• x + 2 (suma dwóch jednomianów: x i 2)
• 3x² - 5x + 1 (suma trzech jednomianów: 3x², -5x i 1)
• 7x⁴ + x (suma dwóch jednomianów: 7x⁴ i x)
• 5 (to też wielomian, składa się tylko z jednego jednomianu!)

Stopień wielomianu

Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej występująca w wielomianie. Na przykład:

• Wielomian x + 2 ma stopień 1 (bo x = x¹)
• Wielomian 3x² - 5x + 1 ma stopień 2
• Wielomian 7x⁴ + x ma stopień 4
• Wielomian 5 (to inaczej 5x⁰) ma stopień 0.

Wielomiany - Sprawdzian Nowa Era

Na sprawdzianie z wielomianów prawdopodobnie pojawią się zadania sprawdzające Twoją wiedzę z zakresu:

• Rozpoznawania, czy dane wyrażenie jest wielomianem
• Określania stopnia wielomianu
• Dodawania i odejmowania wielomianów (po prostu redukujesz wyrazy podobne)
• Mnożenia wielomianów (każdy wyraz jednego wielomianu mnożysz przez każdy wyraz drugiego wielomianu)
• Dzielenia wielomianów (często wymaga zastosowania algorytmu dzielenia pisemnego)
• Rozkładania wielomianów na czynniki (wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, wzory skróconego mnożenia: a² - b², (a+b)², (a-b)², a³+b³, a³-b³)
• Wyznaczania miejsc zerowych wielomianu (czyli szukania takich wartości x, dla których wielomian równa się 0). Ważne: Jeśli wielomian jest stopnia 1 lub 2, możesz użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Dla wielomianów wyższych stopni, często musisz zgadnąć pierwiastek, a następnie podzielić wielomian przez (x - pierwiastek), żeby obniżyć jego stopień.
• Zastosowania twierdzenia Bezout: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a) jest równa W(a). Czyli W(a) = 0, jeżeli (x-a) jest dzielnikiem wielomianu W(x).

Przykładowe zadanie

Rozwiąż równanie: x³ - 2x² - x + 2 = 0

1. Zauważ, że dla x=1 wielomian się zeruje: 1³ - 21² - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0.

2. Zatem (x-1) jest dzielnikiem tego wielomianu. Dzielimy wielomian x³ - 2x² - x + 2 przez (x-1).

3. Wynik dzielenia to x² - x - 2. Mamy więc: (x-1)(x² - x - 2) = 0.

4. Rozwiązujemy równanie kwadratowe x² - x - 2 = 0. Delta = (-1)² - 41*(-2) = 9. Pierwiastki: x₁ = (1 - 3)/2 = -1, x₂ = (1 + 3)/2 = 2.

5. Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są x = 1, x = -1 i x = 2.

Pamiętaj, żeby dokładnie powtórzyć teorię i rozwiązać dużo zadań. Powodzenia na sprawdzianie!