Wzory Na Przekątne Sześciokąta Foremnego

Sześciokąt foremny to figura geometryczna o sześciu równych bokach i sześciu równych kątach wewnętrznych. Istnieją dwa rodzaje przekątnych w takim sześciokącie: krótsze i dłuższe. Skupimy się na tym, jak obliczyć ich długości.

Dłuższa Przekątna Sześciokąta Foremnego

Dłuższa przekątna przechodzi przez środek sześciokąta i łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Jest to nic innego jak dwa razy długość boku sześciokąta.

Jeśli bok sześciokąta ma długość a, to dłuższa przekątna (oznaczmy ją jako d) ma długość:

d = 2a

Przykład: Jeżeli bok sześciokąta foremnego ma długość 5 cm, to jego dłuższa przekątna ma długość 2 * 5 cm = 10 cm.

Dlaczego tak jest? Wyobraź sobie, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Dłuższa przekątna to po prostu dwie wysokości (które są również środkowymi i dwusiecznymi) tych trójkątów, ułożone obok siebie w jednej linii prostej, przechodzącej przez środek sześciokąta. A długość każdego z tych odcinków jest równa długości boku sześciokąta.

Krótsza Przekątna Sześciokąta Foremnego

Krótsza przekątna łączy wierzchołki oddalone od siebie o jeden wierzchołek. Jest nieco trudniejsza do obliczenia.

Długość krótszej przekątnej (oznaczmy ją jako k) można obliczyć korzystając z wzoru:

k = a√3

Gdzie a to, jak poprzednio, długość boku sześciokąta.

Przykład: Jeśli bok sześciokąta foremnego ma długość 4 cm, to jego krótsza przekątna ma długość 4 * √3 cm, czyli około 6.93 cm (ponieważ √3 ≈ 1.732).

Skąd bierze się ten wzór? Możemy rozważyć trójkąt prostokątny utworzony przez krótszą przekątną, bok sześciokąta i połowę dłuższej przekątnej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa lub, prościej, wiedząc, że taki trójkąt ma kąty 30°, 60° i 90°, możemy wyprowadzić ten wzór.

Podsumowanie

Podsumowując: długość dłuższej przekątnej to dwa razy długość boku (d = 2a), a długość krótszej przekątnej to długość boku pomnożona przez pierwiastek z 3 (k = a√3). Pamiętając te proste wzory, łatwo obliczysz przekątne dowolnego sześciokąta foremnego!