Wzory Viete A Dla Wielomianu 3 Stopnia
Wzory Viète’a to zestaw równań, które łączą współczynniki wielomianu z jego pierwiastkami (miejscami zerowymi). Pomagają zrozumieć związek między tym, co widzimy we wzorze wielomianu, a tym, gdzie ten wielomian przecina oś X (oś poziomą).
Wzory Viète’a dla wielomianu 3 stopnia
Skupmy się na wielomianie 3 stopnia, czyli takim, który ma postać: ax3 + bx2 + cx + d = 0, gdzie a nie jest zerem.
Załóżmy, że ten wielomian ma trzy pierwiastki: x1, x2, x3. Wzory Viète’a dla tego wielomianu wyglądają następująco:
Must Read
- Suma pierwiastków: x1 + x2 + x3 = -b/a
- Suma iloczynów par pierwiastków: x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
- Iloczyn pierwiastków: x1x2x3 = -d/a
Wyjaśnienie krok po kroku
Spójrzmy na każdy wzór osobno:
1. Suma pierwiastków: x1 + x2 + x3 = -b/a
Ten wzór mówi, że jeśli dodamy do siebie wszystkie pierwiastki wielomianu, to otrzymamy wartość przeciwną do współczynnika b (czyli tego, co stoi przy x2), podzieloną przez współczynnik a (czyli to, co stoi przy x3).
Przykład: Jeśli mamy wielomian x3 + 2x2 - 5x + 1 = 0, to a = 1, a b = 2. Zatem suma pierwiastków wynosi -2/1 = -2.
2. Suma iloczynów par pierwiastków: x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
Ten wzór mówi, że jeśli pomnożymy każdą możliwą parę pierwiastków i dodamy te iloczyny do siebie, to otrzymamy współczynnik c (czyli to, co stoi przy x), podzielony przez współczynnik a.
Przykład (kontynuacja): W wielomianie x3 + 2x2 - 5x + 1 = 0, c = -5 i a = 1. Zatem suma iloczynów par pierwiastków wynosi -5/1 = -5.
3. Iloczyn pierwiastków: x1x2x3 = -d/a
Ten wzór mówi, że jeśli pomnożymy wszystkie pierwiastki przez siebie, to otrzymamy wartość przeciwną do współczynnika d (czyli wyrazu wolnego), podzieloną przez współczynnik a.
Przykład (kontynuacja): W wielomianie x3 + 2x2 - 5x + 1 = 0, d = 1 i a = 1. Zatem iloczyn pierwiastków wynosi -1/1 = -1.
Po co to wszystko?
Wzory Viète’a pozwalają na:
- Sprawdzenie poprawności obliczonych pierwiastków.
- Szacowanie wartości pierwiastków.
- Konstruowanie wielomianów o zadanych pierwiastkach.
Są przydatnym narzędziem w rozwiązywaniu zadań matematycznych związanych z wielomianami.
