Długość Odcinka W Układzie Współrzędnych Gimnazjum Sprawdzian

Długość odcinka w układzie współrzędnych to po prostu odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie. Punkty te opisane są za pomocą współrzędnych, czyli liczb mówiących, gdzie dokładnie leżą.

Jak to obliczyć?

Potrzebujemy dwóch punktów. Nazwijmy je A i B. Punkt A ma współrzędne (x_A, y_A), a punkt B ma współrzędne (x_B, y_B). Czyli x_A to współrzędna x punktu A, a y_A to współrzędna y punktu A. To samo dla punktu B.

Żeby obliczyć długość odcinka AB, używamy wzoru:

|AB| = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²)

Wygląda skomplikowanie? Spokojnie, rozłóżmy to na części:

1. (x_B - x_A): Odejmujemy od współrzędnej x punktu B współrzędną x punktu A. Mówi nam to, jak daleko w poziomie są od siebie te punkty.
2. (y_B - y_A): Odejmujemy od współrzędnej y punktu B współrzędną y punktu A. Mówi nam to, jak daleko w pionie są od siebie te punkty.
3. (x_B - x_A)²: Podnosimy do kwadratu wynik z punktu 1.
4. (y_B - y_A)²: Podnosimy do kwadratu wynik z punktu 2.
5. (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²: Dodajemy wyniki z punktów 3 i 4.
6. √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²): Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z wyniku z punktu 5. To jest długość odcinka AB!

Przykład

Mamy punkt A(1, 2) i punkt B(4, 6).

Wtedy:

x_A = 1

y_A = 2

x_B = 4

y_B = 6

Podstawiamy do wzoru:

|AB| = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)

|AB| = √((3)² + (4)²)

|AB| = √(9 + 16)

|AB| = √25

|AB| = 5

Czyli długość odcinka AB wynosi 5.

Dlaczego to działa?

Ten wzór to nic innego jak twierdzenie Pitagorasa w przebraniu! Wyobraź sobie, że odcinek AB jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Długości boków tego trójkąta to właśnie (x_B - x_A) i (y_B - y_A). Twierdzenie Pitagorasa mówi, że a² + b² = c², gdzie a i b to długości boków, a c to długość przeciwprostokątnej. W naszym przypadku a = (x_B - x_A), b = (y_B - y_A), a c = |AB|.

Zapamiętaj ten wzór i potrenuj na różnych przykładach. Powodzenia na sprawdzianie!