Funkcja Kwadratowa Sprawdzian 1 Liceum Zakres Podstawowy

Funkcja kwadratowa – brzmi groźnie? Spokojnie! To po prostu funkcja, której wzór ogólny wygląda tak: f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby (zwane współczynnikami), a a musi być różne od zera.

Kluczowe jest ax². To właśnie "kwadrat" (czyli potęga do drugiej) odróżnia ją od funkcji liniowej. Gdyby nie było tego elementu, mielibyśmy zwykłą prostą. Ważne: a musi być różne od zera, bo wtedy wyraz kwadratowy znika i zostaje nam funkcja liniowa!

Co oznaczają a, b i c?

Współczynnik a decyduje o "kierunku" paraboli, czyli kształtu wykresu funkcji kwadratowej. Jeśli a jest dodatnie (a > 0), parabola ma ramiona skierowane do góry, przypomina uśmiech. Jeśli a jest ujemne (a < 0), parabola ma ramiona skierowane w dół, wygląda jak smutna buźka.

Współczynnik c mówi nam, w którym miejscu wykres funkcji przecina oś Y. Dokładnie – przecina ją w punkcie (0, c). Proste!

Współczynnik b ma wpływ na położenie paraboli na osi X, ale jego wpływ jest mniej oczywisty niż wpływ a i c. Bierzemy go pod uwagę obliczając wierzchołek paraboli.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Miejsca zerowe to te argumenty (czyli wartości x), dla których funkcja przyjmuje wartość zero (czyli f(x) = 0). Graficznie – to punkty, w których parabola przecina oś X. Miejsc zerowych funkcja kwadratowa może mieć dwa, jedno (wtedy wierzchołek paraboli leży na osi X) albo wcale.

Aby obliczyć miejsca zerowe, musimy rozwiązać równanie kwadratowe: ax² + bx + c = 0. Najczęściej używamy do tego wzoru na deltę (Δ): Δ = b² - 4ac.

Jeśli Δ > 0, mamy dwa miejsca zerowe: x₁ = (-b - √Δ) / 2a oraz x₂ = (-b + √Δ) / 2a.

Jeśli Δ = 0, mamy jedno miejsce zerowe (zwane też podwójnym): x = -b / 2a.

Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi X).

Wierzchołek paraboli

Wierzchołek paraboli to najważniejszy punkt na jej wykresie. To albo najniższy (gdy a > 0), albo najwyższy (gdy a < 0) punkt. Jego współrzędne oznaczamy jako (p, q), gdzie:

p = -b / 2a (współrzędna x wierzchołka)

q = -Δ / 4a (współrzędna y wierzchołka)

Znając wierzchołek, możemy zapisać funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: f(x) = a(x - p)² + q. Ta postać jest bardzo przydatna do odczytywania własności funkcji, np. zbioru wartości czy przedziałów monotoniczności.

Podsumowując: Funkcja kwadratowa to potężne narzędzie. Znając jej wzór, możemy rysować wykres, obliczać miejsca zerowe, wierzchołek i analizować jej własności. Pamiętaj o współczynnikach a, b i c oraz o delcie (Δ)!